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0 1 2 3 4 5 6 6,28

Circonférence du cercle = 2π R

=> pi = π = 3,14 15 92 65 35 89 79 32 38 46 26 43 38 32 79 ...

Phrase mnémotechnique

Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages ! (3.1415926535)
Immortel Archimède, artiste, ingénieur, (8979)
Toi de qui Syracuse aime encore la gloire, (32384626)
Soit ton nom conservé par de savants grimoires ! (43383279)

Histoire

En 250 avant JC, le grec Archimède est le premier à donner une façon de calculer π. Pour cela, il encadre un cercle par deux polygones réguliers.

R = 1

Un hexagone peut être contenu dans un cercle qui peut lui-même être contenu dans un hexagone.

Le périmètre de l'hexagone intérieur vaut 6, chaque côté valant le rayon du cercle (qui le circonscrit).

O 3O° A M B X Y

Dans un triangle, la somme des angles vaut toujours 180°. Dans un triangle équilatéral, tous les côtés ont la même longueur (et tous les angles sont égaux et donc valent tous 60°). Un hexagone est composé de 6 triangles équilatéraux.

Les points XOY sont les sommets d'un triangle équilatéral. L'angle XOY vaut 60°.

Une bissectrice est une droite qui coupe un angle en deux parties égales.

La bissectrice de l'angle XOY, passant par le point O, coupe le cercle au point B.

Le triangle OBA est un triangle rectangle en B (car la droite passant par les points AB est perpendiculaire à la droite passant par les points OB).

La droite passant par les points AB est une tangente. Elle touche le cercle en un point (B).

Ce triangle rectangle OBA est divisé en deux triangles rectangles en M : OMB et AMB. Le côté MB est commun à ces deux triangles rectangles. La droite passant par les points MB est perpendiculaire à la droite passant par les points OA (et passe par le sommet B du triangle rectangle OBA qui est rectangle en B).

Puisque la somme des angles d'un triangle vaut 180°,

Puisque les angles des trois triangles rectangles OBA, OMB et AMB sont égaux, les triangles sont semblables (ils ne diffèrent que par la longueur de leurs côtés)

Les triangles sont semblables, mais positionnés les uns aux autres différemment. Il est donc possible de les glisser de telle sorte qu'un de leurs sommets ayant le même angle coïncide, via une rotation suivie d'une translation.

Dans ce cas-ci, une rotation du petit rectangle, de 90° vers la gauche, autour du point M, suffira.

Avant rotation :

M

Après rotation :

M

Puisque les triangles sont semblables, les rapports de leurs côtés sont égaux.

On peut donc dire que BM / OM = MA / BM <=> (BM)2 / OM = AM. L'angle BOM vaut 30° car c'est la moitié d'un angle du triangle équilatéral (en pointillé sur le graphique). BM vaut le sinus de 30°, soit 0,5 (du Rayon qui vaut 1). OM vaut le cosinus de 30°, soit (√ 3) /2, soit 0,866... MA vaut donc (1/2)² / 0,866025..., soit 0,288675...

Le rayon du cercle inscrit de l'hexagone extérieur vaut OM + MA = 0,866025 + 0,287675 = 1,154700

Le périmètre de l'hexagone extérieur vaut 6 x 1,154700 = 6,928202

Le périmètre du cercle, appelé circonférence, est compris entre le périmètre de l'hexagone intérieur et celui de l'hexagone extérieur. La circonférence est comprise entre 6 et 6,928202 fois le rayon, soit entre 3 et 3,46 fois le diamètre. La valeur de PI est entre 3 et 3,46. Ce qui se note : 3 < PI < 3,46

On comprend que plus le polygone aura de côtés, plus la valeur de PI sera précise.

Sources

NB : Connaître les 30 premières décimales du nombre π par cœur épatera vos amis lors d’une soirée. Mais, en connaître plus n'a aucune utilité physique. Voir : Importance des décimales.